प्रतिस्थापन x+2=t^{2} का उपयोग करके समाकलन in | vedclass

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Question

(C) हमें समाकलन $I = \int_{0}^{2} x \sqrt{x+2} \, dx$ का मान ज्ञात करना है।माना $x+2 = t^{2}$. तब $x = t^{2}-2$ और $dx = 2t \, dt$ होगा।समाकलन की सीमा

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$32/15$

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(C) हमें समाकलन $I = \int_{0}^{2} x \sqrt{x+2} \, dx$ का मान ज्ञात करना है।माना $x+2 = t^{2}$. तब $x = t^{2}-2$ और $dx = 2t \, dt$ होगा।समाकलन की सीमाओं को बदलने पर:जब $x=0$,तब $t^{2} = 0+2 = 2$,इसलिए $t = \sqrt{2}$.जब $x=2$,तब $t^{2} = 2+2 = 4$,इसलिए $t = 2$.इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$I = \int_{\sqrt{2}}^{2} (t^{2}-2) \sqrt{t^{2}} \cdot (2t) \, dt$$I = \int_{\sqrt{2}}^{2} (t^{2}-2) \cdot t \cdot 2t \, dt$$I = 2 \int_{\sqrt{2}}^{2} (t^{4}-2t^{2}) \, dt$अब,$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:$I = 2 \left[ \frac{t^{5}}{5} - \frac{2t^{3}}{3} \right]_{\sqrt{2}}^{2}$$I = 2 \left[ \left( \frac{32}{5} - \frac{16}{3} \right) - \left( \frac{(\sqrt{2})^{5}}{5} - \frac{2(\sqrt{2})^{3}}{3} \right) \right]$$I = 2 \left[ \left( \frac{96-80}{15} \right) - \left( \frac{4\sqrt{2}}{5} - \frac{4\sqrt{2}}{3} \right) \right]$$I = 2 \left[ \frac{16}{15} - \left( \frac{12\sqrt{2}-20\sqrt{2}}{15} \right) \right]$$I = 2 \left[ \frac{16}{15} - \left( -\frac{8\sqrt{2}}{15} \right) \right] = 2 \left( \frac{16+8\sqrt{2}}{15} \right) = \frac{32+16\sqrt{2}}{15}$

प्रतिस्थापन $x+2=t^{2}$ का उपयोग करके समाकलन $\int_{0}^{2} x \sqrt{x+2} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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